Вступительное слово от издательства.........................................10
О чем эта книга, что нужно знать для ее чтения
и ПОЧЕМУ вам следует прочитать ее...........................................12
Предисловие. Когда математика вошла в моду?...................15
Введение ...................................................................................................20
Глава 1. Комплексные числа ............................................................32
1.1. «Тайна» –1..........................................................................................32
1.2. Теорема Кэли–Гамильтона и формула Муавра .................................38
1.3. Рамануджан находит сумму ряда.......................................................47
1.4. Поворот векторов и отрицательные частоты....................................53
1.5. Неравенство Коши–Шварца и знак «падение камней» ....................57
1.6. Правильные n-угольники и простые числа .......................................62
1.7. Последняя теорема Ферма и разложение комплексных чисел
на множители ......................................................................................72
1.8. Разрывный интеграл Дирихле............................................................82
Глава 2. Путешествия в страну векторов....................................87
2.1. Обобщенное гармоническое блуждание ...........................................87
2.2. Полет птиц при дующем ветре...........................................................90
2.3. Параллельный бег................................................................................93
2.4. Кошки-мышки ...................................................................................102
2.5. Решение задачи о бегущей собаке....................................................108
Глава 3. Иррациональность p
2 ......................................................111
3.1. Иррациональность p..........................................................................111
3.2. Уравнение R(x) = B(x)ex + A(x), D-операторы,
обратные операторы и коммутативность операторов ...................114
3.3. Нахождение A(x) и B(x)......................................................................120
3.4. Значение R(pi)....................................................................................125
3.5. Последний шаг (наконец-то!)...........................................................130
Глава 4. Ряды Фурье...........................................................................132
4.1. Функции, колеблющиеся струны и волновое уравнение................132
4.2. Периодические функции и сумма Эйлера .......................................147
4.3. Теорема Фурье для периодических функций и теорема
Парсеваля ...........................................................................................157
4.4. Разрывные функции, явление Гиббса и Генри Уилбрэхэм .............180
4.5. Дирихле вычисляет квадратичную сумму Гаусса............................190
4.6. Гурвиц и изопериметрическое неравенство ...................................197
Глава 5. Интегралы Фурье...............................................................203
5.1. Импульсная «функция» Дирака........................................................203
5.2. Интегральная теорема Фурье ...........................................................214
5.3. Формула плотности энергии Рэлея, свертка
и автокорреляционная функция ......................................................221
5.4. Некоторые интересные спектры ......................................................240
5.5. Суммирование Пуассона...................................................................260
5.6. Взаимное распространение и принцип неопределенности...........268
5.7. Харди и Шустер и их оптический интеграл.....................................278
Глава 6. Электроника и –1 ............................................................290
6.1. Зачем нужна эта глава? .....................................................................290
6.2. Линейные стационарные системы, свертка (снова),
передаточные функции и каузальность ..........................................291
6.3. Теорема о модуляции, синхронные радиоприемники
и как сделать речевой скремблер .....................................................305
6.4. Теорема дискретизации и умножение путем дискретизации
и фильтрации.....................................................................................317
6.5. Еще о трюках, основанных на преобразовании Фурье
и фильтрах..........................................................................................321
6.6. Односторонние преобразования, аналитический сигнал
и однополосная радиосвязь..............................................................322
Эйлер – человек, математик и физик ........................................340
Примечания ...........................................................................................363
Благодарности ......................................................................................401
Предметный указатель.....................................................................403