Оглавлние
Предисловие .............................................................................................................3
Благодарности и адреса............................................................................................6
Глава 1. ОСНОВЫ РАБОТЫ C MAPLE 9.5/10 ................................................. 7
1.1. Краткая характеристика систем класса Maple .................................................... 7
1.1.2. Назначение и место систем Maple 9.5/10 ................................................. 7
1.1.2. Структура систем Maple 9.5/10 .................................................................. 8
1.1.3. Язык программирования систем класса Maple ...................................... 10
1.1.4. Новые возможности Maple 9.5 ................................................................ 11
1.2. Установка Maple 9.5 и начало работы с системой ........................................... 13
1.2.1. Установка системы Maple 9.5 на ПК ...................................................... 13
1.2.2. Двуликий интерфейс Maple 9.5 ............................................................... 14
1.2.3. Запуск системы Maple 9.5 ........................................................................ 14
1.2.4. Понятие о символьных (аналитических) вычислениях ......................... 17
1.2.5. Данные о скорости вычислений в Maple 9.5 .......................................... 18
1.3. Интерфейс пользователя Maple 9.5 ................................................................... 20
1.3.1. Окно системы ............................................................................................ 20
1.3.2. Меню системы .......................................................................................... 20
1.3.3. Палитры ввода математических символов ............................................. 21
1.3.4. Всплывающие подсказки ......................................................................... 21
1.4. Работа с файловыми операциями ...................................................................... 22
1.4.1. Обзор позиции File меню ........................................................................ 22
1.4.2. Создание нового документа ..................................................................... 23
1.4.3. Открытие документа ................................................................................. 23
1.4.4. Сохранение документа ............................................................................. 24
1.4.5. Экспорт файлов ........................................................................................ 24
1.4.6. Закрытие документа .................................................................................. 25
1.4.7. Запись настроек ........................................................................................ 25
1.4.8. Выход из системы ..................................................................................... 26
1.4.9. Печать документов .................................................................................... 27
1.4.10. Предварительный просмотр страниц .................................................... 27
1.4.11. Установка параметров принтера ............................................................ 28
1.5. Редактирование документов ............................................................................... 28
1.5.1. Обзор позиции Edit меню ........................................................................ 28
1.5.2. Операции с буфером обмена ................................................................... 29
1.5.3. Операции разделения и объединения объектов ..................................... 29
1.5.4. Исполнение выделенных ячеек или всего документа ........................... 29
1.5.5. Удаление ячеек вывода ............................................................................. 30
1.6. Операции вставки ................................................................................................ 30
1.6.1. Обзор меню Insert ..................................................................................... 30
1.6.2. Основные команды вставки ..................................................................... 30
1.6.3. Операции с секциями документов .......................................................... 31
1.6.4. Вставка и применение гиперссылок ....................................................... 33
1.6.5. Вставка и редактирование объектов ........................................................ 33
1.7. Электронные таблицы ......................................................................................... 34
1.7.1. Вставка электронных таблиц ................................................................... 34
1.7.2. Обзор позиции Spreadsheet меню ............................................................ 35
1.7.3. Работа с электронными таблицами ......................................................... 36
1.7.4. Об интеграции Maple с табличным процессором Excel ........................ 38
1.8. Операции форматирования ................................................................................ 38
1.8.1. Обзор позиции Format меню ................................................................... 38
1.8.2. Установка стилей ...................................................................................... 39
1.9. Управление видом интерфейса Maple 9.5 ......................................................... 40
1.9.1. Управление видом интерфейса ................................................................ 40
1.9.2. Установка закладок ................................................................................... 41
1.9.3. Управление показом компонентов документа ....................................... 42
1.9.4. Управление показом непечатаемых символов ....................................... 42
1.9.5. Представление выражений в строках ...................................................... 42
1.9.6. Контроль за предполагаемыми переменными ....................................... 44
1.9.7. Управление показом графиков ................................................................ 45
1.10. Работа с окнами ................................................................................................. 46
1.10.1. Позиция Window меню ........................................................................... 46
1.10.2. Работа с окнами ...................................................................................... 46
1.11. Основы работы с Maple 9.5 в диалоговом режиме ......................................... 46
1.11.1. Начальные навыки работы ..................................................................... 46
1.11.2. Понятие о функциях и операторах ....................................................... 47
1.11.3. Операторы и средства вывода выражений ............................................ 49
1.11.4. Обработка и индикация ошибок ........................................................... 50
1.11.5. Применение контекстного меню правой клавиши мыши .................. 52
1.11.6. Примеры задания функции пользователя и построения
ее графика ...................................................................................................... 52
1.11.7. Пример построения трехмерного графика поверхности ..................... 53
1.12. Символьные вычисления .................................................................................. 54
1.12.1 Простой пример символьных вычислений ............................................ 54
1.12.2. Представление входных выражений в математической форме .......... 55
1.12.3. Типовые символьные вычисления ........................................................ 57
1.12.4. Разбухание результатов символьных вычислений ............................... 58
1.12.5. Решения системы линейных уравнений ............................................... 60
1.13. Повышение эффективности работы с системой ............................................ 61
1.13.1. Работа с панелью инструментов ............................................................ 61
1.13.2. Работа с контекстной панелью инструментов ...................................... 61
1.13.3. Контекстная панель инструментов для двумерных графиков ............ 63
1.13.4. Контекстная панель инструментов трехмерной графики ................... 64
1.13.5. Строка состояния .................................................................................... 65
1.13.6. Горячие клавиши системы Maple 9.5 .................................................... 65
1.14. Новая позиция Tools меню Maple 9.5 ............................................................. 68
1.14.1. Состав позиции Tools меню ................................................................... 68
1.14.2. Вывод окна всех команд ......................................................................... 69
1.14.3. Помощники (ассистенты) Maple 9.5 ..................................................... 69
1.14.4. Браузер просмотра библиотек ................................................................ 70
1.14.5. Интерактивный построитель графиков ................................................ 70
Оглавлние 703
1.15. Работа с информационными ресурсами Maple 9.5 ......................................... 72
1.15.1. Доступ к справке при классическом интерфейсе ................................ 72
1.15.2. Доступ к справке при стандартном интерфейсе интерфейсе ............. 74
1.15.3. Доступ к каталогу примеров .................................................................. 75
1.15.4. Новые самоучители ................................................................................. 76
1.16. Работа с пакетами расширения ........................................................................ 76
1.16.1. Состав пакетов расширения ................................................................... 76
1.16.2. Новые пакеты расширения систем Maple 9.5 ...................................... 78
1.16.3. Получение информации о конкретном пакете .................................... 78
1.16.4. Полная и частичная загрузка пакетов расширения ............................. 79
1.17. Особенности системы Maple 10 ....................................................................... 79
1.17.1. Новые возможности Maple 10 ................................................................ 79
1.17.2. Установка и запуск Maple 10 ................................................................. 80
1.17.3. Доступ к справке Maple 10 ..................................................................... 82
1.17.4. Использование примеров из справки Maple 10 ................................... 83
1.17.5. Быстрый справочник Quick Reference Card .......................................... 84
1.17.6 Автоматическая нумерация формул в документе ................................. 84
1.17.7. Новации интерфейса Maple 10 .............................................................. 86
1.17.8. Новые палитры математических символов ........................................... 86
1.17.9. Новые возможности графики Maple 10 ................................................ 88
1.17.10. Новый самоучитель Maple 10 ............................................................... 90
1.17.11. Словарь математических и инженерных терминов в Maple 10 ........ 92
1.17.12. Сопровождающая Maple 10 литература ............................................... 92
1.17.13. Новые и доработанные пакеты расширения Maple 10 ...................... 93
1.17.14. Новый набор примеров работы с Maple 10 ........................................ 94
1.17.15. Маплет-ассистенты Maple 10 ............................................................... 96
1.17.16. Классический интерфейс Maple 10 ................................................... 100
1.17.17. Применение шаблонов (Templates) в Maple 10 ................................ 101
1.17.18. Графический калькулятор Maple 10 .................................................. 102
Глава 2. ТИПЫ ДАННЫХ И РАБОТА С НИМИ .......................................... 104
2.1. Работа с простыми данными Maple-языка ..................................................... 104
2.1.1. Использование знаков алфавита ........................................................... 104
2.1.2. Зарезервированные слова ....................................................................... 105
2.1.3. Работа с числами и арифметические вычисления ............................... 105
2.1.4. Точная арифметика ................................................................................. 107
2.1.5. Вычисление числа _ с произвольной точностью ................................. 107
2.1.6. Работа с комплексными числами .......................................................... 109
2.1.7. Контроль над типами чисел ................................................................... 110
2.1.8. Преобразования чисел с разным основанием ...................................... 111
2.1.9. Пакет RealDomain для вычислений с действительными данными .... 112
2.1.10. Модификация графической функции plot .......................................... 113
2.2. Сложные типы данных ..................................................................................... 113
2.2.1. Создание наборов (множеств) ............................................................... 114
2.2.2. Создание и применение списков выражений ...................................... 114
2.2.3. Создание массивов, векторов и матриц ................................................ 114
2.2.4. Работа с построителем матриц Matrix Builder Maple 9.5 ..................... 116
2.2.5. Работа с построителем матриц Matrix Builder Maple 10 ...................... 117
2.2.6. Ассистент импорта данных Import Data в Maple 10 ............................ 117
2.2.7. Просмотр импортируемых в Maple 10 данных ..................................... 119
704 Оглавлние
2.2.8. Создание Maple-таблиц и их применение ............................................ 121
2.2.7. Пакет ListTool для работы со списками ............................................... 122
2.2.8. Структура разбросанных полиномов ряда
переменных SDMPolynom .......................................................................... 123
2.3. Применение констант ....................................................................................... 123
2.3.1. Символьные и числовые константы ..................................................... 123
2.3.2. Строковые константы ............................................................................. 123
2.3.3. Встроенные в ядро Maple константы .................................................... 123
2.3.4. Идентификация констант ...................................................................... 124
2.3.5. Защита идентификаторов констант ....................................................... 124
2.3.6. Задание новых констант ......................................................................... 125
2.4. Работа с размерными величинами ................................................................... 125
2.4.1. Пакет поддержки размерных величин Units ........................................ 125
2.4.2. Примеры работы с размерными величинами ....................................... 125
2.4.3. Ассистент преобразования размерных величин в Maple 9.5/10 ......... 126
2.4.4. Пакет научных констант ScientificConstants ............................... 127
2.4.5. Работа с научными константами ........................................................... 127
2.4.6. Вызов списка и свойств химических элементов .................................. 128
2.4.7. Применение пакета ScientificConstants ........................................ 128
2.5. Функции для работы со строковыми данными .............................................. 130
2.5.1. Создание и применение строковых данных ......................................... 130
2.5.2. Неисполняемые программные комментарии ....................................... 130
2.5.3. Контроль типа строковых данных ......................................................... 130
2.5.4. Интерактивный ввод строк .................................................................... 131
2.5.5. Обработка строк ...................................................................................... 131
2.5.6. Преобразование строки в математическое выражение ........................ 132
2.6. Переменные и их применение ......................................................................... 133
2.6.1. Типы переменных ................................................................................... 133
2.6.2. Назначение переменным имен .............................................................. 133
2.6.3. Присваивание переменным значений ................................................... 134
2.6.4. Отмена операции присваивания и команда restart .............................. 134
2.6.5. Придание переменным статуса предполагаемых ................................. 136
2.7. Работа с файлами и документами .................................................................... 137
2.7.1. Типы файлов ........................................................................................... 137
2.7.2. Запись данных в файлы .......................................................................... 138
2.7.3. Считывание данных из файлов ............................................................. 138
2.7.4. Запись и считывание m-файлов ............................................................ 139
2.7.5. Запись в файлы графических объектов ................................................. 140
2.8. Вывод в специальных форматах ....................................................................... 140
2.8.1. Вывод в формате LaTeX ......................................................................... 140
2.8.2. Вывод на языке Фортран ....................................................................... 140
2.8.3. Вывод на языке C ................................................................................... 141
Глава 3. РАБОТА С МАТЕМАТИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ
И ФУНКЦИЯМИ ............................................................................................. 142
3.1. Работа с операторами ........................................................................................ 142
3.1.1. Операторы и операнды ........................................................................... 142
3.1.2. Виды операторов ..................................................................................... 143
3.1.3. Применение бинарных (инфиксных) операторов ................................ 143
3.1.4. Работа с множествами ............................................................................ 145
Оглавлние 705
3.1.5. Новый оператор in в множествах .......................................................... 146
3.1.6. Применение унарных арифметических операторов ............................ 146
3.1.7. Применение оператора % и команды history ....................................... 147
3.1.8. Работа с логическими операторами ...................................................... 148
3.1.9. Применение операторов специальных типов ....................................... 149
3.1.10. Применение функциональных операторов ......................................... 150
3.1.11. Определение нейтральных операторов ................................................ 150
3.1.12. Определение операторов с помощью оператора define ..................... 151
3.2. Работа с математическими функциями ........................................................... 152
3.2.1. Понятие о функциях ............................................................................... 152
3.2.2. Математические выражения .................................................................. 153
3.2.3. Работа с элементарными функциями в системе Maple ....................... 153
3.2.4. Некоторые целочисленные функции и факториал .............................. 154
3.2.5. Функции с элементами сравнения и их применение .......................... 155
3.2.6. Примеры вычисления тригонометрических функций ......................... 157
3.2.7. Гармонический синтез пилообразных колебаний ............................... 158
3.2.8. Гармонический синтез меандра ............................................................. 159
3.2.9. Обратные тригонометрические функции и их применение ............... 159
3.2.10. Применение гиперболических функций ............................................. 160
3.2.11. Обратные гиперболические функции и их применение ................... 161
3.2.12. Вычисление степенных и логарифмических функций ...................... 162
3.2.13. Применение элементарных функция
для моделирования сигналов ..................................................................... 163
3.2.14. Выбор экспоненциальных функций для приближения
сложных зависимостей ................................................................................ 164
3.2.15. Применение функций с элементами сравнения ................................ 167
3.2.16. Работа с функциями комплексного аргумента ................................... 168
3.2.17. Построение графиков функций в Maplet-окне .................................. 169
3.3. Работа со специальными функциями .............................................................. 170
3.3.1. Обзор специальных математических функций .................................... 170
3.3.2. Специальные математические функции системы Maple 9.5 ............... 173
3.3.3. Построение графиков специальных функций ...................................... 175
3.3.4. Консультант по функциям ..................................................................... 176
3.4. Работа с функциями пакетов расширения Maple ........................................... 177
3.4.1. Работа с функциями пакета комбинаторики combinat ........................ 177
3.4.2. Функции пакета структур комбинаторики combstruct ......................... 180
3.4.3. Функции пакета теории чисел — numtheory ........................................ 181
3.4.4. Пакет для работы с p-адическими числами — padic ........................... 181
3.4.5. Пакет для работы с гауссовыми целыми числами — GaussInt ........... 181
3.5. Расширенные возможности Maple в работе
с выражениями .................................................................................................. 182
3.5.1. Ввод выражений ...................................................................................... 182
3.5.2. Оценивание выражений ......................................................................... 183
3.5.3. Последовательности выражений ............................................................ 185
3.5.4. Вывод выражений ................................................................................... 186
3.5.5. Работа с частями выражений ................................................................. 186
3.5.6. Работа с уровнями вложенности выражений ....................................... 187
3.5.7. Преобразование выражений в тождественные формы ........................ 187
3.5.8. Преобразование выражений .................................................................. 189
3.5.9. Контроль за типами объектов ................................................................ 190
706 Оглавлние
3.6. Работа с подстановками .................................................................................... 193
3.6.1. Функциональные преобразования подвыражений .............................. 193
3.6.2. Функциональные преобразования элементов списков ....................... 193
3.6.3. Подстановки с помощью функций add, mul и seq .............................. 195
3.6.4. Подстановки с помощью функций subs и subsop ................................. 195
3.6.5. Подстановки правил и подвыражений ................................................. 197
3.6.6. Функции сортировки и селекции .......................................................... 197
3.7. Символьные преобразования выражений ....................................................... 200
3.7.1. Упрощение выражений — simplify ........................................................ 200
3.7.2. Расширение выражений — expand ........................................................ 203
3.7.3. Разложение целых и рациональных чисел — ifactor ............................ 204
3.7.4. Разложение выражений (факторизация) — factor ................................ 204
3.7.5. Комплектование по степеням — collect ................................................ 205
3.7.6. Работа с пакетом рациональных нормальных форм
RationalNormalForms ................................................................................... 207
Глава 4. ПРАКТИКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ............................. 208
4.1. Вычисление сумм последовательностей .......................................................... 208
4.1.1. Основные функции для вычисления сумм последовательностей ...... 208
4.1.2. Последовательности с заданным числом членов ................................. 209
4.1.3. Суммы с известным пределом ............................................................... 209
4.1.4. Суммы бесконечных рядов .................................................................... 210
4.1.5. Двойные суммы ....................................................................................... 210
4.1.6. Пакет вычисления специальных сумм sumtools ................................... 211
4.1.7. Примеры вычисления специальных сумм ............................................ 211
4.2. Вычисление произведений членов последовательностей .............................. 212
4.2.1. Основные функции для произведения членов
последовательностей ................................................................................... 212
4.2.2. Примеры вычисления произведений членов
последовательностей ................................................................................... 212
4.3. Вычисление производных ................................................................................. 213
4.3.1. Определение производной и полного дифференциала ....................... 213
4.3.2. Функции дифференцирования diff и Diff ............................................. 214
4.3.3. Дифференциальный оператор D ........................................................... 216
4.3.4. Импликативное дифференцирование ................................................... 217
4.3.5. Maplet-вычислитель производных Derivatives ...................................... 218
4.3.6. Maplet-инструмент по методам дифференцирования ......................... 218
4.4. Вычисление интегралов .................................................................................... 220
4.4.1. Определение интегралов ........................................................................ 220
4.4.2. Вычисление неопределенных интегралов ............................................. 221
4.4.3. Конвертирование и преобразование интегралов ................................. 222
4.4.4. Вычисление определенных интегралов ................................................. 223
4.4.5. Каверзные интегралы и визуализация
результатов интегрирования ....................................................................... 224
4.4.6. Вычисление несобственных интегралов первого рода ........................ 229
4.4.7. Вычисление несобственных интегралов второго рода ......................... 232
4.4.8. Интегралы с переменными пределами интегрирования ..................... 234
4.4.9. Вычисление кратных интегралов ........................................................... 234
4.4.10. О вычислении некоторых других интегралов ..................................... 236
4.4.11. Maplet-демонстрация построения графика первообразной .............. 236
Оглавлние 707
4.4.11. Maplet-демонстрация методов интегрирования ................................. 238
4.4.12. Численное вычисление определенных интегралов ............................ 239
4.5. Вычисление пределов функций ....................................................................... 240
4.5.1. Определение предела функции .............................................................. 240
4.5.2. Функции вычисления пределов в Maple 9.5 ......................................... 240
4.5.3. Вычисление пяти замечательных пределов .......................................... 241
4.5.4. Графическая иллюстрация вычисления пределов
с двух сторон ................................................................................................ 242
4.5.5. Maplet-инструмент для иллюстрации методов
вычисления пределов .................................................................................. 243
4.6. Разложение функций в ряды ............................................................................ 244
4.6.1 Определение рядов Тейлора и Маклорена ............................................ 244
4.6.2. Разложение в степенной ряд .................................................................. 244
4.6.3. Разложение в ряды Тейлора и Маклорена ........................................... 245
4.6.4. Пример документа — разложения синуса в ряд .................................. 247
4.6.5. Пакет вычисление степенных разложений powseries ........................... 249
4.6.6. Примеры выполнения степенных разложений .................................... 250
4.6.7. Maplet-иллюстрация аппроксимации рядом Тейлора в ряд ............... 250
4.7. Визуализация приложений математического анализа ................................... 251
4.7.1. Суммы Римана и приближение интегралов ......................................... 251
4.7.2. Вычисление длины дуги ......................................................................... 254
4.7.3. Иллюстрация теоремы о среднем .......................................................... 256
4.7.4. Построение касательной к заданной точке кривой ............................. 256
4.7.5. Построение касательной к заданной точке кривой
и секущих линий ......................................................................................... 257
4.7.6. Вычисление поверхности вращения кривой ........................................ 258
4.7.7. Вычисление объема фигуры, полученной вращением
отрезка кривой ............................................................................................. 258
4.7. Решение уравнений и неравенств .................................................................... 259
4.7.1. Основная функция solve ......................................................................... 259
4.7.2. Решение одиночных нелинейных уравнений ....................................... 260
4.7.3. Решение тригонометрических уравнений ............................................. 262
4.7.4. Решение систем линейных уравнений .................................................. 264
4.7.5. Решение систем нелинейных и трансцендентных уравнений ............ 267
4.7.6. Функция RootOf ...................................................................................... 268
4.7.7. Решение уравнений со специальными функциями ............................. 269
4.7.8. Решение неравенств ................................................................................ 269
4.7.9. Решение функциональных уравнений .................................................. 271
4.7.10. Решение уравнений с линейными операторами ................................ 272
4.7.11. Решение в численном виде — функция fsolve .................................... 272
4.7.12. Решение рекуррентных уравнений — rsolve ....................................... 274
4.7.13. Решение уравнений в целочисленном виде — isolve ......................... 275
4.7.14. Функция msolve ..................................................................................... 275
4.8. Применение пакета расширения student ......................................................... 276
4.8.1. Функции пакета student .......................................................................... 276
4.8.2. Функции интегрирования пакета student ............................................. 277
4.8.3. Иллюстративная графика пакета student .............................................. 278
4.8.4. Визуализация методов численного интегрирования ........................... 279
4.9. Работа с алгебраическими кривыми ................................................................ 279
4.9.1. Пакет для работа с алгебраическими кривыми algcurves .................... 279
708 Оглавлние
4.9.2. Примеры работы с алгебраическими кривыми .................................... 280
4.9.3. Построение алгебраических кривых класса knot ................................. 281
4.10. Векторные вычисления и функции теории поля .......................................... 283
4.10.1. Пакет векторных вычислений VectorCalculus ..................................... 283
4.10.2. Объекты векторных вычислений ......................................................... 284
4.10.3. Основные операции с векторами ........................................................ 285
4.10.4. Операции с кривыми ............................................................................ 287
4.10.5. Интегрирование в пакете VectorCalculus ............................................ 289
4.10.6. Задание матриц специального типа .................................................... 290
4.10.7. Функции теории поля ........................................................................... 291
4.10.8. Приближение площади сложной поверхности суммами Римана ..... 294
4.10.9. Вычисление поверхностных интегралов ............................................. 296
Глава 5. АНАЛИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ
И ОБРАБОТКА ДАННЫХ ............................................................................... 297
5.1. Анализ функциональных зависимостей .......................................................... 297
5.1. Понятие о функциональных зависимостях ............................................. 297
5.1.2. Поиск экстремумов функций по нулям первой производной ............ 298
5.1.3. Поиск экстремумов в аналитическом виде .......................................... 299
5.1.4. Поиск максимума амплитудно-частотной характеристики ................ 300
5.1.5. Поиск экстремумов с помощью функции extrema .............................. 301
5.1.6. Поиск минимумов и максимумов аналитических функций ............... 302
5.1.7. Поиск минимума функций с ограничениями методом
выпуклого программирования ................................................................... 304
5.1.8. Анализ функций на непрерывность ...................................................... 305
5.1.9. Определение точек нарушения непрерывности ................................... 306
5.1.10. Нахождение сингулярных точек функции .......................................... 307
5.1.11. Вычисление асимптотических и иных разложений ........................... 307
5.1.12. Пример анализа сложной функции ..................................................... 308
5.1.13. Maplet-инструмент по анализу функциональных зависимостей ...... 310
5.2. Работа с функциями из отдельных кусков ...................................................... 311
5.2.1. Создание функций из отдельных кусков .............................................. 311
5.2.2. Простые примеры применения функции piecewise ............................. 312
5.2.3. Работа с функциями piecewise ............................................................... 312
5.3. Операции с полиномами .................................................................................. 314
5.3.1. Определение полиномов ........................................................................ 314
5.3.2. Выделение коэффициентов полиномов ................................................ 314
5.3.3. Оценка коэффициентов полинома по степеням .................................. 315
5.3.4. Оценка степеней полинома .................................................................... 316
5.3.5. Контроль полинома на наличие несокращаемых множителей .......... 317
5.3.6. Разложение полинома по степеням ...................................................... 318
5.3.7. Вычисление корней полинома .............................................................. 319
5.3.8. Основные операции с полиномами ...................................................... 319
5.3.9. Операции над степенными многочленами
с отрицательными степенями ..................................................................... 321
5.4. Работа с ортогональными полиномами ........................................................... 322
5.4.1. Состав пакета orthopoly .......................................................................... 322
5.4.2. Вычисление ортогональных полиномов ............................................... 323
5.4.3. Построение графиков ортогональных полиномов ............................... 324
5.4.4. Работа с рядами ортогональных многочленов ..................................... 326
Оглавлние 709
5.5. Пакет PolynomialTools ....................................................................................... 327
5.5.1. Обзор возможностей пакета PolynomialTools ....................................... 327
5.5.2. Функции для работы с полиномами ..................................................... 328
5.5.3. Функции сортировки полиномов .......................................................... 329
5.5.4. Функции преобразования полиномов в PDE и обратно ..................... 330
5.6. Введение в интерполяцию и аппроксимацию ................................................ 330
5.6.1. Основные понятия .................................................................................. 330
5.6.2. Полиномиальная аппроксимация и интерполяция
аналитических зависимостей ...................................................................... 331
5.6.3. Интерполяционный метод Лагранжа. ................................................... 332
5.6.4. Интерполяционный метод Ньютона ..................................................... 333
5.6.5. Итерационно-интерполяционный метод Эйткена ............................... 333
5.6.6. Чебышевская интерполяция .................................................................. 334
5.6.7. Сплайновая интерполяция, экстраполяция и аппроксимация ........... 334
5.6.8. Рациональная интерполяция и аппроаксимация ................................. 335
5.6.9. Метод наименьших квадратов (МНК) .................................................. 336
5.6.10. Тригонометрическая интерполяция рядами Фурье ........................... 338
5.7. Аппроксимация зависимостей в Maple ........................................................... 339
5.7.1. Аппроксимация аналитически заданных функций .............................. 339
5.7.2. Сплайн-интерполяция в Maple .............................................................. 343
5.7.3. Полиномиальная интерполяция табличных данных ........................... 345
5.8. Применение числовой аппроксимации функций .......................................... 346
5.8.1. Состав пакета numapprox ....................................................................... 346
5.8.2. Разложение функции в ряд Лорана ....................................................... 347
5.8.3. Паде-аппроксимация аналитических функций .................................... 347
5.8.4. Паде-аппроксимация с полиномами Чебышева .................................. 349
5.8.5. Наилучшая минимаксная аппроксимация ........................................... 349
5.8.6. Наилучшая минимаксная аппроксимация по алгоритму Ремеза ....... 350
5.8.7. Другие функции пакета numapprox ....................................................... 350
5.9. Пакет приближения кривых CurveFitting ........................................................ 351
5.9.1. Общая характеристика пакета Curve Fitting ......................................... 351
5.9.2. Функция вычисления B-сплайнов Bsline .............................................. 351
5.9.3. Функция построения B-сплайновых кривых BsplineCurve ................. 352
5.9.4. Сравнение полиномиальной и сплайновой аппроксимаций .............. 352
5.9.5. Сплайновая аппроксимация при большом числе узлов ...................... 353
5.9.6. Функция реализации метода наименьших квадратов LeastSquares .... 355
5.9.7. Функция полиномиальной аппроксимации ......................................... 356
5.9.8. Функция рациональной аппроксимации .............................................. 356
5.9.9. Функция вычисления обычных сплайнов Spline ................................. 357
5.9.10. Функция аппроксимации непрерывными дробями ........................... 357
5.10. Выбор аппроксимации для сложной функции ............................................. 358
5.10.1. Задание исходной функции и построение ее графика ...................... 358
5.10.2. Аппроксимации рядом Тейлора ........................................................... 359
5.10.3. Паде-аппроксимация ............................................................................ 360
5.10.4. Аппроксимация полиномами Чебышева ............................................ 361
5.10.5. Аппроксимация Чебышева-Паде ......................................................... 362
5.10.6. Минимаксная аппроксимация ............................................................. 363
5.10.7. Эффективная оценка рациональных функций ................................... 364
5.10.8. Сравнение времен вычислений ........................................................... 365
5.10.9. Преобразование в код ФОРТРАНа или C .......................................... 365
710 Оглавлние
5.11. Интегральные преобразования функций ....................................................... 366
5.11.1. Прямое и обратное Z-преобразования ................................................ 366
5.11.2. Быстрое преобразование Фурье ........................................................... 367
5.11.3. Общая характеристика пакета inttrans ............................................ 368
5.11.4. Прямое и обратное преобразование Фурье ........................................ 368
5.11.5. Вычисление косинусного и синусного интегралов Фурье ................ 370
5.11.6. Прямое и обратное преобразование Лапласа ..................................... 371
5.11.7. Интегральное преобразование Ханкеля .............................................. 372
5.11.8. Прямое и обратное преобразования Гильберта ................................. 373
5.11.9. Интегральное преобразование Меллина ............................................. 375
5.11.10. Функция addtable ................................................................................. 375
5.12. Регрессионный анализ .................................................................................... 375
5.12.1. Функция fit для регрессии в пакете stats ............................................. 375
5.12.2. Линейная и полиномиальная регрессия с помощью функции fit .... 376
5.12.3. Регрессия для функции ряда переменных .......................................... 377
5.12.4. Линейная регрессия общего вида ........................................................ 378
5.12.5. О нелинейной регрессии с помощью функции fit ............................. 379
5.12.6. Сплайновая регрессия с помощью функции BSplineCurve ............... 380
5.13. Работа с функциями двух переменных .......................................................... 380
5.13.1. Maplet-инструмент для работы с функциями двух переменных ...... 380
5.13.2. Демонстрация разложения в ряд Тейлора функции
двух переменных .......................................................................................... 381
5.13.3. Демонстрация вычисления градиента функции двух переменных ... 382
5.13.4. Демонстрация вычисления производной в заданном
направлении ................................................................................................. 383
5.13.5. Демонстрация приближенного вычисления интеграла ..................... 383
5.13.6. Маплет-демонстрация сечения поверхности ...................................... 383
Глава 6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ,
ОПТИМИЗАЦИИ И РЕГРЕССИИ ................................................................. 386
6.1. Основные операции линейной алгебры .......................................................... 386
6.1.1. Основные определения линейной алгебры .......................................... 386
6.1.2. Системы линейных уравнений и их матричная форма ....................... 388
6.1.3. Матричные разложения .......................................................................... 388
6.1.4. Элементы векторов и матриц ................................................................ 389
6.1.5. Преобразование списков в векторы и матрицы ................................... 389
6.1.6. Операции с векторами ............................................................................ 390
6.1.7. Операции над матрицами с численными элементами ........................ 391
6.1.8. Символьные операции с матрицами ..................................................... 392
6.2. Пакет линейной алгебры linalg системы ......................................................... 394
6.2.1. Состав пакета linalg ................................................................................. 394
6.2.2. Интерактивный ввод матриц ................................................................. 396
6.2.3. Основные функции для задания векторов и матриц ........................... 397
6.2.4. Работа с векторами и матрицами .......................................................... 398
6.2.5. Решение систем линейных уравнений .................................................. 400
6.2.6. Визуализация матриц .............................................................................. 402
6.3. Работа с пакетом LinearAlgebra и алгоритмами NAG .................................... 402
6.3.1. Назначение и загрузка пакета LinearAlgebra ........................................ 402
6.3.2. Примеры матричных операций с применением
пакета LinearAlgebra .................................................................................... 403
Оглавлние 711
6.3.3. Методы решения систем линейных уравнений
средствами пакета LinearAlgebra ................................................................ 405
6.3.4. Решение системы линейных уравнений
методом LU-декомпозиции ........................................................................ 405
6.3.5. Решение системы линейных уравнений методом
QR-декомпозиции ....................................................................................... 407
6.3.6. Решение системы линейных уравнений методом
декомпозиции Холесски ............................................................................. 408
6.3.7. Одновременное решение нескольких систем уравнений .................... 410
6.4. Интеграция Maple с MATLAB ......................................................................... 411
6.4.1. Краткие сведения о MATLAB ................................................................ 411
6.4.2. Загрузка пакета расширения Matlab ...................................................... 411
6.4.3. Типовые матричные операции пакета расширения Matlab ................ 411
6.5. Линейная оптимизация и линейное программирование ............................... 413
6.5.1. Постановка задачи линейного программирования .............................. 413
6.5.2. Обзор средств пакета simplex ................................................................. 414
6.5.3. Переопределенные функции maximize и minimize .............................. 415
6.5.4. Прочие функции пакета simplex ............................................................ 416
6.6. Новый пакет оптимизации Optimization в Maple 9.5 ..................................... 418
6.6.1. Доступ к пакету Optimization и его назначение ................................... 418
6.6.2. Работа с функциями Minimize и Maximize ........................................... 419
6.6.3. Линейное программирование — LPSolve ............................................. 420
6.6.4. Квадратичное программирование — QPSolve ...................................... 421
6.6.5. Нелинейное программирование — NLPSolve ...................................... 422
6.6.6. Работа с функцией импорта данных из файлов — ImportMPC ......... 423
6.6.7. Нелинейная регрессия ............................................................................ 423
6.6.8. Маплет-оптимизация с помощью функции Interactive ....................... 423
6.7. Новые средства Maple 10 .................................................................................. 425
6.7.1. Нелинейное программирование с ограничениями в Maple 10 ........... 425
6.7.2. Нелинейны