Оглавление
Оглавление 320
ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ЯВЛЕНИЙ 7
1.1. Введение 7
1.2. Моделирование свободных колебаний цепочки связанных гармонических осцилляторов 7
1.3. Моделирование вынужденных колебаний цепочки связанных гармонических осцилляторов 23
1.4. Моделирование волновых движений 33
1.5. Фурье-анализ волновых пакетов, движущихся в среде с дисперсией 37
1.6. Интерференция и дифракция 50
1.7. Геометрическая оптика 61
1.8. Поляризация 66
ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ, СОСТОЯЩИХ ИЗ БОЛЬШОГО ЧИСЛА ЧАСТИЦ (МЕТОД МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ) 71
2.1. Введение 71
2.2. Математическая модель статистической системы 72
2.3. Численный алгоритм решения системы уравнений движения 75
2.4. Моделирование системы, состоящей из большого числа частиц, методом молекулярной динамики 79
2.5. Оценка макроскопических характеристик статистической системы 92
2.6. Оценка коэффициентов переноса в методе молекулярной динамики 98
2.7. Моделирование фазовых переходов методом молекулярной динамики 104
2.8. Заключение 107
ГЛАВА 3. МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО 108
3.1. Введение 108
3.2. Численные методы интегрирования функций, зависящих от одной переменной 108
3.3. Основы метода Монте-Карло 113
3.4. Алгоритм генерации случайных чисел с равномерным законом распределения 125
3.5. Алгоритм Метрополиса 128
ГЛАВА 4. СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ 134
4.1. Введение 134
4.2. Одномерные случайные блуждания 134
4.3. Метод случайных блужданий на плоскости 145
4.4. Моделирование движения решеточного газа 170
4.5. Непрерывная модель случайных блужданий 176
ГЛАВА 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ПРОЦЕССЕ РЕЛАКСАЦИИ И СОСТОЯНИИ РАВНОВЕСИЯ 179
5.1. Введение 179
5.2. Моделирование процесса релаксации статистической системы 180
5.3. Энтропия 191
ГЛАВА 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОКАНОНИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО 199
6.1. Микроканонический ансамбль 199
6.2. Моделирование микроканонического ансамбля 200
6.3. Модель Изинга 209
ГЛАВА 7. МОДЕЛИРОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО 225
7.1. Введение 225
7.2. Канонический ансамбль 225
7.3. Алгоритм Метрополиса для канонического ансамбля 227
7.4. Моделирование двумерной модели изинга методом канонического ансамбля 240
ГЛАВА 8. МОДЕЛИРОВАНИЕ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ 253
8.1. Введение 253
8.2. Стационарное уравнение Шредингера 255
8.3. Моделирование колебаний двухатомной молекулы в квазиклассическом приближении 268
8.4. Нестационарное уравнение Шредингера 283
8.5. Оценка энергии основного состояния квантовой системы методом Монте-Карло 296
8.6. Оценка энергии основного состояния квантовой системы вариационными методами Монте-Карло 306
ПРИЛОЖЕНИЯ 316
1. Оценка погрешностей численного интегрирования 316
2. Метод Ромберга 318

ВВЕДЕНИЕ
Анализ педагогического опыта преподавания физики, в первую очередь в высших учебных заведениях, готовящих будущих преподавателей физики, привел нас к выводу о существовании известного недостатка стандартных курсов физики, в которых, по нашему мнению, недостаточно много внимания уделяется обучению «вычислять» и использовать ПК, как инструмент исследования. (Здесь под умением «вычислять» мы понимаем навык физически правильно сформулировать задачу исследования, выбрать соответствующий математический аппарат и метод решения.) До настоящего времени преподавание большинства курсов физических дисциплин остается «классическим», т. е. базирующимся на «трех китах»: теоретическом курсе, излагаемом в виде лекций; семинарских занятиях, на которых проводится решение задач; лабораторных занятиях.
Такое положение объясняется во многом тем, что до недавнего времени учебных заведения не были обеспечены достаточным количеством вычислительной техники. Однако в настоящее время, когда большинство высших учебных заведений оснащены ПК, возможности которых позволяют решать в реальном времени задачи, требующие большого объема вычислений, по нашему мнению, назрела необходимость пересмотра подходов к использованию ПК в преподавании физики.
Выходом из создавшегося положения является дополнение «трех китов», преподавания физики, соответствующими курсами лабораторных работ по компьютерному моделированию. Это, во-первых, позволит внедрить принципы компьютерного мышления в изучение физики. Во-вторых, потребует от студента более глубокого проникновения в суть изучаемой проблемы, будет способствовать закреплению физического материала и развивать физическую интуицию. Первые шаги в развитии именно такого подхода сделаны в [1,2]. Здесь авторам удалось отойти от традиционных для книг, посвященных численному моделированию, подходов, и на примерах решения широкого класса физических задач показать возможности использования ПК, как экспериментальной установки для проведения физических опытов.
Не ставя под сомнение высокий научно-методической уровень этих работ и их актуальность, нельзя не отметить, что они ориентированы на возможности ПК десятилетней давности (в первую очередь это касается программного обеспечения). Учитывая современное состояние аппаратных и программных средств ПК, по нашему мнению, более разумно ориентироваться на специализированные пакеты для математических вычислений, одним из которых является пакет Mathcad [3–5], что позволяет экономить время, необходимое на разработку и отладку программы, в пользу анализа физического содержания решаемой задачи.
Наш выбор из достаточно большого количества специализированных пакетов для математических вычислений в качестве базового программного средства пакета Mathcad обусловлен тем, что:
• математические выражения в среде Mathcad записываются в общепринятой нотации;
• в пакет интегрирован мощный математический аппарат, позволяющий решать сложные задачи без вызова внешних процедур, который позволяет находить решения:
• линейных и нелинейных алгебраических уравнений и систем;
• задачи Коши и краевой задачи для дифференциальных уравнений;
• дифференциальных уравнений в частных производных;
• задач статистической обработки данных (вычисление статистических параметров, интерполяция, аппроксимация, сглаживание, т. д.)
• задач линейной алгебры (операции с матрицами и векторами);
• задач поиска экстремумов функциональных зависимостей;
• пакет имеет мощные средства графического представления информации (функции, зависящие от одной переменной, полярные графики, графики поверхностей, карты линий уровня, векторные поля и т. д.) и очень дружественный интерфейс пользователя;
• имеются возможности проводить вычисления с размерными единицами (что особенно важно для физиков);
• система снабжена средствами анимации, что позволяет рассматривать временную эволюцию математических моделей в динамике и т. д.;
• в пакет интегрирован математический аппарат, реализующий символьные вычисления;
• пакет позволяет использовать современные информационные техно¬логии (сеть Internet), в частности, не выходя из среды Mathcad, обращаться к документам, расположенным на других серверах*.
Кроме того пакет Mathcad, являясь полноценным Windows прило¬жением, позволяет обмениваться данными с другими программами, используя буфер обмена (Clipboard) или OLE–технологию. При возник¬новении необходимости пользователь может легко дополнить набор математических функций пакета собственной функцией, написанной на языке C и прикрепляемой к пакету через механизм DDL.
При отборе материала для этой книги мы включили задачи, с одной стороны, требующие использования минимального набора численных методов, но представляющих несомненный физический интерес, с другой. Ориентация на физическую сторону задачи определила структуру изложения материала книги: физическая постановка задачи, обсуждение численных методов и алгоритмов, необходимых для ее решения, описание документа, созданного в пакет Mathcad, для реализации этих методов, задачи для самостоятельной работы.
Отдавая себе отчет в том, что в одной книге невозможно охватить все разделы современной физики в первой части книги [6] одной книге мы рассмотрели избранные задачи классической физики из механики, электродинамики и теории колебаний, изложили теорию метода спектрального анализа, включая быстрое преобразование Фурье. Во второй части мы рассматриваем модели систем с многими степенями свободы (линейные цепочки, волны, системы, состоящие из большого числа частиц и др.) и квантовые системы, относящиеся по принятой в математическом моделировании классификации к дифференциальным, стохастическим и детерминистическим моделям. Отметим, что вторая часть книги (также как и первая) не является учебником по курсу «Численные методы», поэтому мы не делаем попыток дать в ней строгое с математической точки зрения обоснование применяемым численным методам, но ограничиваемся обсуждением вопросов их практического использования.
Хотим предварить совершенно справедливый вопрос о причинах отсутствия в обеих частях книги моделей нелинейных физических систем. Это сделано нами совершенно сознательно, поскольку нелинейные математические модели, появившись впервые именно в физике, вышли сегодня далеко за ее пределы и используются сейчас в различных науках (не только естественных, но и гуманитарных), что привело к возникновению во второй половине ХХ века появлению новой науки, названной «Нелинейной динамикой». В этих условиях, с нашей точки зрения, было бы не правильным ограничить рассмотрение нелинейных математических моделей только моделями, используемыми в физике. Мы считаем, что рассмотрение нелинейных динамических моделей и их компьютерных реализаций необходимо проводить без привязки к конкретной области знаний, в которой они используются, а потому их рассмотрение требует отдельной книги.