Содержание
Предисловие ............................................................. 15
Введение ................................................................... 20
ЧАCТЬ I

Глава 1. Матрицы и определители .............................. 28
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
1.1. Основные сведения о матрицах ......................................28
1.2. Операции над матрицами..................................................30
1.3. Определители квадратных матриц ................................39
1.4. Свойства определителей ....................................................45
1.5. Обратная матрица ................................................................49
1.6. Ранг матрицы .........................................................................53
ПРАКТИКУМ
1.7. Действия с матрицами........................................................59
1.8. Определители квадратных матриц ................................61
1.9. Обратная матрица ................................................................66
1.10. Ранг матрицы .........................................................................68
1.11. Задачи с экономическим содержанием........................72
Глава 2. Системы линейных уравнений ....................... 78
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
2.1. Основные понятия и определения ................................78
2.2. Система n линейных уравнений с n переменными.
Метод обратной матрицы и формулы Крамера .......80
2.3. Метод Гаусса ...........................................................................85
2.4. Система m линейных уравнений
с n переменными ...................................................................90
2.5. Системы линейных однородных уравнений.
Фундаментальная система решений .............................95
2.6. Модель Леонтьева — модель многоотраслевой
экономики (балансовый анализ) ....................................98
ПРАКТИКУМ
2.7. Система n линейных уравнений
с n переменными ................................................................ 103
2.8. Система m линейных уравнений с n переменными.
Метод Жордана — Гаусса. Фундаментальная
система решений ................................................................ 111
2.9. Модель Леонтьева — модель многоотраслевой
экономики ............................................................................ 117
Глава 3. Элементы матричного анализа .................... 120
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
3.1. Векторы на плоскости и в пространстве .................. 120
3.2. Понятия n!мерного вектора и векторного
пространства ........................................................................ 126
3.3. Размерность и базис векторного пространства ..... 128
3.4. Переход к новому базису................................................ 133
3.5. Евклидово пространство ................................................ 135
3.6. Линейные операторы ....................................................... 137
3.7. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора ........................................................ 141
3.8. Квадратичные формы ...................................................... 146
3.9. Линейная модель обмена ............................................... 151
ПРАКТИКУМ
3.10. Векторы на плоскости и в пространстве .................. 154
3.11. Понятия n!мерного вектора и векторного
пространства. Евклидово пространство ................... 159
3.12. Линейные операторы ....................................................... 166
3.13. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора (матрицы) ................................. 169
3.14. Квадратичные формы....................................................... 174
Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость ........ 178
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
4.1. Системы координат. Простейшие задачи................. 178
4.2. Уравнение линии на плоскости ................................... 180
4.3. Уравнение прямой ............................................................. 182
4.4. Условия параллельности и перпендикулярности
прямых. Расстояние от точки до прямой ................. 187
4.5. Окружность и эллипс ...................................................... 190
4.6. Гипербола и парабола ...................................................... 195
4.7. Полярные координаты .................................................... 202
4.8. Плоскость и прямая в пространстве .......................... 205
ПРАКТИКУМ
4.9. Простейшие задачи. Уравнение прямой
на плоскости ........................................................................ 209
4.10. Кривые второго порядка ................................................ 219
4.11. Полярные координаты .................................................... 227
4.12. Прямая и плоскость в пространстве .......................... 229
Глава 5. Функции одной переменной ................................. 238
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
5.1. Понятие множества .......................................................... 238
5.2. Абсолютная величина действительного числа.
Окрестность точки ............................................................ 240
5.3. Понятие функции. Основные свойства функций .... 241
5.4. Основные элементарные функции ............................. 245
5.5. Элементарные функции. Классификация функций.
Преобразование графиков ............................................. 249
5.6. Применение функций в экономике............................ 253
5.7. Интерполирование функций. Основные правила
приближенных вычислений .......................................... 256
ПРАКТИКУМ
5.8. Функции и графики ......................................................... 260
7 6
Глава 6. Пределы и непрерывность .......................... 268
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
6.1. Предел числовой последовательности ...................... 268
6.2. Предел функции в бесконечности и точке .............. 270
6.3. Бесконечно малые величины ........................................ 274
6.4. Бесконечно большие величины ................................... 278
6.5. Основные теоремы о пределах.
Признаки существования предела .............................. 281
6.6. Замечательные пределы. Задача о непрерывном
начислении процентов..................................................... 284
6.7. Непрерывность функции................................................ 290
ПРАКТИКУМ
6.8. Вычисление пределов ...................................................... 296
6.9. Замечательные пределы. Применение
эквивалентных бесконечно малых величин
к вычислению пределов .................................................. 305
6.10. Непрерывность функции и точки разрыва ............. 312
Глава 7. Производная и дифференциал .................... 316
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
7.1. Задачи, приводящиеся к понятию производной ... 316
7.2. Определение производной. Зависимость между
непрерывностью и дифференцируемостью
функции ................................................................................ 318
7.3. Схема вычисления производной.
Основные правила дифференцирования ................. 321
7.4. Производная сложной и обратной функций .......... 325
7.5. Производные основных элементарных
функций ................................................................................ 329
7.6. Производные неявной и параметрически
заданной функций. Понятие производных
высших порядков............................................................... 334
7.7. Понятие дифференциала функции ............................ 337
7.8. Применение дифференциала в приближенных
вычислениях ........................................................................ 340
7.9. Понятие о дифференциалах высших порядков ..... 342
7.10. Экономический смысл производной.
Использование понятия производной в экономике .... 343
ПРАКТИКУМ
7.11. Вычисление производных .............................................. 350
7.12. Геометрические и механические приложения
производной ........................................................................ 357
7.13. Дифференциал функции ................................................ 360
7.14. Экономические приложения производной ............. 361
Глава 8. Приложения производной ........................... 368
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
8.1. Основные теоремы дифференциального
исчисления ........................................................................... 368
8.2. Правило Лопиталя ........................................................... 372
8.3. Возрастание и убывание функций.............................. 376
8.4. Экстремум функции ......................................................... 378
8.5. Наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке и интервале .................................................... 384
8.6. Выпуклость функции. Точки перегиба ..................... 386
8.7. Асимптоты графика функции ...................................... 389
8.8. Общая схема исследования функций
и построения их графиков ............................................. 392
8.9. Приложение производной в экономической
теории..................................................................................... 398
ПРАКТИКУМ
8.10. Основные теоремы дифференциального
исчисления ........................................................................... 399
8.11. Правило Лопиталя ............................................................ 401
8.12. Интервалы монотонности и экстремумы
функции ................................................................................ 405
8.13. Интервалы выпуклости функции.
Точки перегиба ................................................................... 410
8.14. Асимптоты. Исследование функций
и построение их графиков.............................................. 412
9 8
8.15. Применение производной в задачах
с экономическим содержанием .................................... 420
Контрольные задания по главе 1
«Матрицы и определители» ..................................................... 426
Тест 1 ................................................................................................. 428
Контрольные задания по главе 2
«Системы линейных уравнений» .......................................... 429
Тест 2 ................................................................................................. 431
Контрольные задания по главе 3
«Элементы матричного анализа» .......................................... 432
Тест 3 ................................................................................................. 434
Контрольные задания по главе 4
«Уравнение линии. Прямая и плоскость» .......................... 436
Тест 4 ................................................................................................. 437
Итоговые контрольные задания по дисциплине
«Линейная алгебра с элементами аналитической
геометрии» (разделу I части I) ............................................... 439
Итоговый тест ЛА........................................................................ 442
Контрольные задания по главе 5 «Функции одной
переменной» ................................................................................... 445
Тест 5 ................................................................................................. 445
Контрольные задания по главе 6
«Пределы и непрерывность» ................................................... 447
Тест 6 ................................................................................................. 448
Контрольные задания по главе 7
«Производная и дифференциал» ........................................... 449
Тест 7 ................................................................................................. 450
Контрольные задания по главе 8
«Проложение производной» .................................................... 452
Тест 8 ................................................................................................. 452
Итоговые контрольные задания по дисциплине
«Математический анализ» (разделам II, III части I) ..... 455
Итоговый тест МА.I .................................................................... 457
ЧАCТЬ II
Глава 9. Функции нескольких переменных ............... 464
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
9.1. Основные понятия ............................................................ 464
9.2. Предел и непрерывность ................................................ 469
9.3. Частные производные...................................................... 471
9.4. Дифференциал функции ................................................ 473
9.5. Производная по направлению. Градиент ................. 475
9.6. Дифференцирование сложной функции .................. 477
9.7. Экстремум функции нескольких переменных....... 480
9.8. Наибольшее и наименьшее значения функции ..... 484
9.9. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа .... 487
9.10. Понятие об эмпирических формулах. Метод
наименьших квадратов .................................................... 490
9.11. Функции нескольких переменных
в экономической теории ................................................. 495
ПРАКТИКУМ
9.12. Основные понятия ............................................................ 500
9.13. Частные производные, градиент,
дифференциал..................................................................... 503
9.14. Экстремум функции нескольких переменных.
Условный экстремум ........................................................ 505
9.15. Метод наименьших квадратов...................................... 510
9.16. Функции нескольких переменных
в экономических задачах ................................................ 515
Глава 10. Неопределенный интеграл ......................... 522
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
10.1. Первообразная функция и неопределенный
интеграл ................................................................................ 522
10.2. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы
от основных элементарных функций ........................ 524
10.3. Метод замены переменной ............................................ 531
10.4. Метод интегрирования по частям............................... 534
10.5. Интегрирование простейших рациональных
дробей..................................................................................... 537
10.6. Интегрирование некоторых видов иррациональ!
ностей ..................................................................................... 542
10.7. Интегрирование тригонометрических функций ... 545
10.8. Об интегралах, «неберущихся» в элементарных
функциях .............................................................................. 547
ПРАКТИКУМ
10.9. Непосредственное интегрирование ............................ 547
10.10. Метод замены переменной .......................................... 549
10.11. Метод интегрирования по частям ............................ 556
10.12. Интегрирование рациональных функций ............. 561
10.13. Интегрирование некоторых видов иррацио!
нальностей ......................................................................... 565
10.14. Интегрирование тригонометрических
функций............................................................................... 569
Глава 11. Определенный интеграл ............................ 573
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
11.1. Понятие определенного интеграла, его геомет!
рический и экономический смысл .............................. 573
11.2. Свойства определенного интеграла ........................... 579
11.3. Определенный интеграл как функция верхнего
предела ................................................................................... 583
11.4. Формула Ньютона—Лейбница .................................... 586
11.5. Замена переменной и интегрирование
по частям в определенном интеграле ........................ 588
11.6. Геометрические приложения определенного
интеграла .............................................................................. 591
11.7. Несобственные интегралы ............................................. 601
11.8. Приближенное вычисление определенных
интегралов ............................................................................ 606
11.9. Применение понятия определенного интеграла
в экономике ......................................................................... 609
11.10. Понятие двойного интеграла...................................... 612
ПРАКТИКУМ
11.11. Методы вычисления определенного интеграла .... 616
11.12. Геометрические приложения определенного
интеграла ............................................................................ 622
11.13. Несобственные интегралы ........................................... 632
11.14. Приближенное вычисление определенного
интеграла ............................................................................ 636
11.15. Применение понятия определенного интеграла
в экономике ....................................................................... 638
11.16. Двойные интегралы........................................................ 642
Глава 12. Дифференциальные уравнения ................. 645
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
12.1. Основные понятия ............................................................ 645
12.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Задача Коши. Теорема о существовании
и единственности решения ............................................ 649
12.3. Элементы качественного анализа дифферен!
циальных уравнений первого порядка ...................... 652
12.4. Неполные дифференциальные уравнения
первого порядка. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными ............................... 655
12.5. Однородные дифференциальные уравнения
первого порядка ................................................................. 658
12.6. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка ................................................................. 660
12.7. Дифференциальные уравнения второго
порядка, допускающие понижение порядка ........... 662
12.8. Линейные дифференциальные уравнения вто!
рого порядка с постоянными коэффициентами .... 663
12.9. Использование дифференциальных уравнений
в экономической динамике............................................ 674
12.10. Системы дифференциальных уравнений .............. 678
ПРАКТИКУМ
12.11. Основные понятия.......................................................... 685
12.12. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными ............................. 688
12.13. Однородные дифференциальные уравнения
первого порядка ............................................................... 690
12.14. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка ............................................................... 693
12.15. Дифференциальные уравнения, допускающие
понижение порядка ........................................................ 698
12.16. Линейные дифференциальные уравнения вто!
рого порядка с постоянными коэффициентами ... 701
12.17. Использование дифференциальных уравнений
в экономической динамике ......................................... 707
12.18. Системы дифференциальных уравнений .............. 712
12.19. Дополнительные задачи ............................................... 715
Глава 13. Числовые ряды ......................................... 718
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
13.1. Основные понятия. Сходимость ряда ....................... 718
13.2. Необходимый признак сходимости.
Гармонический ряд ........................................................... 722
13.3. Ряды с положительными членами ............................. 724
13.4. Ряды с членами произвольного знака ....................... 734
ПРАКТИКУМ
13.5. Сходимость ряда. Необходимый признак
сходимости ........................................................................... 739
13.6. Сходимость рядов с положительными членами ... 742
13.7. Сходимость рядов с членами произвольного знака .. 751
Глава 14. Степенные ряды........................................ 756
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
14.1. Область сходимости степенного ряда ....................... 756
14.2. Ряды Маклорена и Тейлора .......................................... 762
14.3. Формула Тейлора .............................................................. 767
ПРАКТИКУМ
14.4. Область сходимости степенного ряда ....................... 770
14.5. Ряды Маклорена и Тейлора .......................................... 777
14.6. Применения рядов в приближенных
вычислениях ........................................................................ 784
Глава 15. Комплексные числа .................................. 796
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
15.1. Арифметические операции над комплексными
числами. Комплексная плоскость ............................... 796
15.2. Тригонометрическая и показательная формы
комплексного числа .......................................................... 798
ПРАКТИКУМ
15.3. Действия над комплексными числами ..................... 803
Контрольные задания по главе 9 «Функции
нескольких переменных» .......................................................... 808
Тест 9 ................................................................................................. 809
Контрольные задания по главе 10 «Неопределенный
интеграл» ......................................................................................... 811
Тест 10............................................................................................... 811
Контрольные задания по главе 11 «Определенный
интеграл» ......................................................................................... 813
Тест 11............................................................................................... 814
Контрольные задания по главе 12 «Дифференциаль!
ные уравнения» ............................................................................. 815
Тест 12............................................................................................... 816
Контрольные задания по главе 13 «Числовые ряды» ..... 817
Тест 13............................................................................................... 818
Контрольные задания по главе 14 «Степенные ряды» ..... 820
Тест 14............................................................................................... 821
Контрольные задания по главе 15 «Комплексные
числа» ............................................................................................... 823
Тест 15............................................................................................... 824
14Итоговые контрольные задания по дисциплине
«Математический анализ» (разделам V—VII части II) .... 825
Итоговый тест МА.II .................................................................. 827
Приложение. Об использовании математических
пакетов при изучении курса высшей математики ...... 831
Литература .............................................................. 838
Ответы .................................................................... 841
Предметный указатель ............................................ 878