Предисловие........................................................................................................................................ 9
Часть I
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕЙВЛЕТОВ..................................................................................12
Глава 1
Преобразование Фурье и фильтры.................................................................................13
1.1. Предварительные замечания...................................................................................................13
1.2. Ряды Фурье ......................................................................................................................................14
1.3. Преобразование Фурье..............................................................................................................18
1.3.1. Преобразование Фурье в L1
(R).........................................................................................18
1.3.2. Преобразование Фурье в L2
(R) .......................................................................................19
1.3.3. Свойства преобразований Фурье ...................................................................................21
1.3.4. Примеры....................................................................................................................................23
1.3.5. Теорема Пэли-Винера .........................................................................................................23
1.3.6. Преобразование Фурье экспоненциально убывающей функции ....................24
1.3.7. Формула суммирования Пуассона .................................................................................25
1.3.8. Оконное преобразование Фурье ...................................................................................26
1.4. Преобразование Фурье дискретных сигналов.................................................................27
1.4.1. Дискретизация ........................................................................................................................27
1.4.2. Дискретное преобразование Фурье сигнала длины N..........................................29
1.4.3. Преобразование Фурье числовой последовательности ......................................32
1.4.4. Z–преобразование................................................................................................................35
1.5. Фильтры.............................................................................................................................................35
1.5.1. Фильтрация непрерывных сигналов .............................................................................35
1.5.2. Примеры фильтров ...............................................................................................................37
1.5.3. Цифровые фильтры .............................................................................................................40
1.5.4. Примеры цифровых фильтров.........................................................................................41
4 Содержание
1.6. Разложение сигнала на низкочастотную и высокочастотную составляющие......42
1.6.1. Разложение идеальными фильтрами ............................................................................43
1.6.2. Восстановление идеальными фильтрами....................................................................47
1.6.3. Общий случай..........................................................................................................................49
1.6.4. Примеры....................................................................................................................................54
1.6.5. Многоуровневый анализ сигналов.................................................................................57
Глава 2
Основы теории вейвлетов.......................................................................................................59
2.1. Вейвлеты Хаара .............................................................................................................................59
2.1.1. Последовательность масштабированных подпространств .................................60
2.1.2. Операторы проектирования ............................................................................................62
2.1.3. Пространства вейвлетов ....................................................................................................64
2.2. Масштабирующие функции ......................................................................................................68
2.2.1. Примеры и общие свойства масштабирующих функций .....................................68
2.2.2. Построение масштабирующей функции......................................................................71
2.3. Ортогональный кратномасштабный анализ.......................................................................77
2.3.1. Ортогональное кратномасштабное разложение .....................................................78
2.3.2. Вейвлеты ..................................................................................................................................81
2.3.3. О единственности порождающих функций ...............................................................88
2.3.4. Неортогональный случай ..................................................................................................90
2.3.5. Достаточные условия ортогональности .......................................................................93
2.4. Вейвлет-преобразование...........................................................................................................95
2.4.1. Вейвлет-разложение ............................................................................................................95
2.4.2. Быстрое вейвлет-преобразование ................................................................................99
2.4.3. Вопрос о начальных коэффициентах.........................................................................100
2.4.4. Восстановление ..................................................................................................................102
2.4.5. Вейвлет-пакеты....................................................................................................................103
2.5. Примеры кратномасштабного анализа и вейвлетов...................................................108
2.5.1. Вейвлеты Шеннона–Котельникова ............................................................................108
2.5.2. Вейвлеты Мейера ..............................................................................................................110
2.6. Вейвлеты Батла-Лемарье. B-сплайны ................................................................................115
2.6.1. Вейвлеты на основе B-сплайна степени 1 ..............................................................116
2.6.2. B-сплайны .............................................................................................................................120
2.6.3. Сплайновые вейвлеты .....................................................................................................122
2.7. Регулярность и нулевые моменты........................................................................................125
2.8. Построение вейвлетов Добеши с компактным носителем.......................................131
2.8.1. Построение функции H0(ω) ..........................................................................................132
2.8.2. Симлеты ................................................................................................................................. 137
2.9. Койфлеты.......................................................................................................................................139
Содержание 5
2.10. Биортогональные вейвлеты.................................................................................................142
2.10.1. Мотивировка и определение .....................................................................................142
2.10.2. Условия на функции φ(x) и ψ(x) ................................................................................144
2.10.3. Построение функции φ
~(x).............................................................................................146
2.10.4. Построение функций ψ(x) и ψ
~
(x) ..............................................................................148
2.10.5. Условия на коэффициенты ..........................................................................................150
2.10.6. Симметричные биортогональные вейвлеты ........................................................150
2.10.7. Сплайны ...............................................................................................................................151
2.11. Двумерные вейвлеты.............................................................................................................154
2.11.1. Вейвлет-преобразование ............................................................................................158
2.12. Непрерывное вейвлет-преобразование........................................................................159
2.12.1. Непрерывное вейвлет-преобразование в одномерном случае ..................159
2.12.2. Многомерные обобщения непрерывного вейвлет-преобразования.........162
2.13. Вейвлеты с коэффициентом масштабирования N.....................................................172
2.13.1. Масштабирующие функции .........................................................................................173
2.13.2. N-кратномасштабное разложение............................................................................174
2.13.3. Вейвлеты с коэффициентом масштабирования N .............................................176
2.13.4. Вейвлет-преобразование.............................................................................................. 177
2.13.5. Разложение и восстановление в неортогональном случае ...........................179
2.14. Примеры N-масштабирующих функций и вейвлетов .............................................182
2.14.1. Вейвлеты Хаара с параметром сжатия N...............................................................182
2.14.2. Вейвлеты Шеннона с параметром сжатия N ........................................................185
2.14.3. Вырожденные масштабирующие функции и вейвлеты Кантора ................188
2.14.4. Сплайновые масштабирующие функции................................................................192
2.14.5. Вейвлеты на основе В-сплайнов ..............................................................................195
2.14.6. Кратные коэффициенты масштабирования..........................................................206
2.15. Построение ортогональных вейвлетов с компактным носителем
для N > 2.................................................................................................................................................210
2.15.1. Условия ортогональности .............................................................................................211
2.15.2. Построение матрицы частотных функций ............................................................213
2.15.3. Построение матрицы частотных функций в случае N = 3..............................216
2.15.4. Примеры масштабирующих функций и вейвлетов для N = 3 .....................218
2.16. Многомерные вейвлеты с матричным коэффициентом
масштабирования ..............................................................................................................................223
2.16.1. Масштабирующие функции ........................................................................................224
2.16.2. A-кратномасштабное разложение ...........................................................................234
2.16.3. Вейвлеты с матрицей масштабирования ..............................................................238
2.16.4. Вейвлет-преобразование ............................................................................................239
2.16.5. Разложение и восстановление ..................................................................................240
2.16.6. Построение вейвлетов с матрицей масштабирования ..................................245
2.17. Гармонические вейвлеты......................................................................................................251
6 Содержание
2.17.1. Гармонические вейвлеты на R ...................................................................................251
2.17.2. Периодические гармонические вейвлеты.............................................................254
2.17.3. Дискретное гармоническое вейвлет-разложение ..............................................256
2.18. Мультивейвлеты.......................................................................................................................258
Часть II
Вейвлеты в MATLAB..................................................................................................................266
Глава 3
Функции вейвлет-анализа в MATLAB.......................................................................... 267
3.1. Вейвлеты и банки фильтров в системе MATLAB ..........................................................269
3.1.1. Вещественные и комплексные вейвлеты.................................................................269
3.1.2. Ортогональные и биортогнальные банки фильтров ............................................281
3.1.3. Построение вейвлетов. Лифтинг...................................................................................286
3.2. Частотно-временной анализ..................................................................................................291
3.2.1. Непрерывное вейвлет-преобразование cwt...........................................................291
3.2.2. Q-постоянно адаптивные к данным и квадратичные
частотно-временные преобразования..................................................................................305
3.2.3. Многомасштабный анализатор сигнала....................................................................314
3.3. Дискретный вейвлет-анализ.................................................................................................. 317
3.3.1. Анализ одномерных сигналов....................................................................................... 317
3.3.2. Анализ изображений.........................................................................................................339
3.3.3. Трехмерный анализ ...........................................................................................................355
3.3.4. Анализ мультисигналов....................................................................................................359
3.4. Вейвлет-пакеты...........................................................................................................................366
3.5. Удаление шума и сжатие сигнала........................................................................................378
3.5.1. Функции MATLAB для удаления шума и сжатия....................................................379
3.5.2. Многовариантное удаление шума...............................................................................389
3.5.3. Сжатие сигнала ....................................................................................................................398
3.6. Вейвлеты в машинном и в глубоком обучении ............................................................405
3.6.1. Вейвлет-рассеивание ........................................................................................................406
3.6.2. Функции вейвлет-рассеивания времени ..................................................................409
3.7. Тестовые сигналы в MATLAB ..................................................................................................411
3.7.1 Одномерные тестовые сигналы .....................................................................................412
3.7.2. Изображения.........................................................................................................................412
3.7.3. Генерирование сигналов..................................................................................................413
3.8. Приложения вейвлет-анализа .............................................................................................416
3.8.1. Вейвлет-анализ кардиосигнала ....................................................................................416
3.8.2. Непрерывный вейвлет-анализ кордиосигнала ......................................................426
Содержание 7
3.8.3. Удаление шума, компрессия и сглаживание кардиосигнала............................433
3.8.4. Использование пакетных разложений ......................................................................435
3.8.5. Высокочастотные вейвлет-компоненты кардиосигнала для задач
классификации................................................................................................................................441
3.8.6. Вейвлет-пакетное разложение ЭЭГ на основные частотные ритмы..............450
3.8.7. Выделение контура объекта изображения...............................................................458
Глава 4
Вейвлет-анализатор пакета Wavelet Toolbox .......................................................464
4.1. Просмотр вейвлетов .................................................................................................................465
4.1.1. Просмотр вейвлетов..........................................................................................................465
4.1.2. Просмотр пакетных вейвлетов ..................................................................................... 467
4.2. Продолжение сигналов и изображений (Extension)....................................................468
4.3. Одномерный вейвлет-анализ................................................................................................471
4.3.1. Одномерный вейвлет-анализ сигнала (Wavelet 1-D)...........................................471
4.3.2. Одномерный пакетный вейвлет-анализ....................................................................480
4.3.3. Непрерывный вейвлет-анализ (Continuous Wavelet 1-D)..................................483
4.3.4. Комплексный непрерывный вейвлет-анализ (Complex Continuous
Wavelet 1-D)...................................................................................................................................... 487
4.3.5. Непрерывный вейвлет-анализ на основе FFT........................................................489
4.4. Специализированные средства одномерного вейвлет-анализа............................493
4.4.1. Удаление шума стационарного одномерного сигнала
(SWT De-noising 1-D).....................................................................................................................494
4.4.2. Оценка плотности (Density Estimation 1-D).............................................................498
4.4.3. Оценка регрессии (Regression Estimation 1-D) ......................................................502
4.4.4. Выбор вейвлет-коэффициентов сигнала (Wavelet Coefficients
Selection 1-D)...................................................................................................................................505
4.4.5. Моделирование дробного броуновского движения (Fractional
Brownian Generation 1-D)............................................................................................................ 507
4.4.6. Выполнение подгонки (Matching Pursuit 1-D) ........................................................508
4.5. Двумерный вейвлет-анализ...................................................................................................512
4.5.1. Двумерный дискретный вейвлет-анализ (Wavelet 2-D)......................................513
4.5.2. Двумерный пакетный вейвлет-анализ.......................................................................515
4.5.3. Двумерное непрерывное вейвлет-преобразование............................................516
4.6. Специализированные средства двумерного вейвлет-анализа...............................519
4.6.1. Удаление шума изображения (SWT De-noising 2-D)............................................519
4.6.2. Выбор вейвлет-коэффициентов изображения (Wavelet Coefficients
Selection 2-D)...................................................................................................................................520
4.6.3. Слияние двух изображений (Image Fusion).............................................................522
4.6.4. Истинное сжатие с использованием вейвлетов (True Compression 2-D).....524
8 Содержание
4.7. Трехмерный вейвлет-анализ (Wavelet 3-D)......................................................................528
4.8. Мультисигналы (Multiple 1-D) ...........................................................................................532
4.8.1. Вейвлет-анализ мультисигнала.....................................................................................532
4.8.2. Многовариантное удаление шума (Multivariate Denoising).............................. 537
4.8.3. Многомасштабный анализ главных компонент.....................................................544
4.9. Проектирование вейвлетов для непрерывного вейвлет-преобразования
(New Wavelet for CWT)...................................................................................................................... 547
Список литературы....................................................................................................................550
Предметный указатель ........................................................................................................... 557