Об авторе 29
Введение 29
Работы, положенные в основу книги 35
О выделениях в книге 36
Предупреждения 36
Благодарности 38

Глава 1. ПЕРВОЕ ЗНАКОМСТВО С СИСТЕМАМИ КОМПЬЮТЕРНОЙ
МАТЕМАТИКИ 40

1.1. Классификация и структура систем компьютерной
математики 40
1.1.1. Классификация средств компьютерной математики 40
1.1.2. Структура систем компьютерной математики 43
1.1.3. Аппаратные требования 45
1.2. Системы компьютерной математики для численных расчетов
46
1.2.1. Задачи, решаемые системами для численных расчетов 46
1.2.2. Встроенные калькуляторы Windows 95/98 47
1.2.3. Табличные процессоры 51
1.2.4. Математические системы Eureka и Mercury 54
1.2.5. Математические системы Mathcad под MS-DOS 55
1.2.6. Системы класса MATLAB 55
1.2.7.Системы для статистических расчетов 56
1.2.8. Системы для специальных расчетов 59
1.3. Системы аналитических вычислений 60
1.3.1. Задачи решаемые системами компьютерной алгебры 61
1.3.2. Система компьютерной алгебры Derive 64
1.3.3. Система компьютерной алгебры MuPAD 71
1.3.4. Другие системы компьютерной алгебры 74
1.3.5. Системы символьной математики в образовании 76
1.4. Универсальные системы компьютерной математики 80
1.4.1. Математические системы класса Mathcad под Windows 80
1.4.2. Математические системы Mathematica 2/3/4 81
1.4.3. Математическая система Maple V R5 88
1.4.4. Математическая система MATLAB 5.2/5.3 96
1.4.5. Сравнение универсальных систем компьютерной
математики 99
1.5. Пользовательский интерфейс математических систем 100
1.5.1. Главное окно приложения и его панели 100
1.5.2. Главное меню и панели инструментов и форматирования
101
1.5.3. Работа с файлами 107
1.5.4. Типовые средства редактирования документов 110
1.5.5. Управление видом интерфейса 111
1.5.6. Операции вставки 112
1.5.7. Форматирование документов 114
1.5.8. Управление окнами 115
1.5.9. Вызов справочной системы 116
1.6. Средства общения с математическими системами 120
1.6.1. Понятие о языках программирования и общения 120
1.6.2. Алфавит языков программирования 121
1.6.3. Синтаксис языков программирования 122
1.7. Математические системы и Internet 124
1.7.1. Обзор Internet - страниц ведущих разработчиков
математических систем 124
1.7.2. Модернизация систем с помощью Internet 138
1.7.3. Совместная работа над математическими проектами 142
1.8. Данные о системе Mathematica 4 144
1.8.1. Информация о системе Mathematica 4 в Internet 144
1.8.2. Интерфейс и документы Mathematica 4 в стиле Notebook
145
1.8.3. Кардинальное ускорение численных расчетов и повышение
их точности 146
1.8.4. Улучшенные математические возможности 147
1.8.5. Улучшенная поддержка графики и звука 149

Глава 2. Типы данных математических систем 153

2.1. Числа и числовые константы 153
2.1.1. Системы счисления 153
2.1.2. Натуральные и простые числа 154
2.1.3. Целые числа 154
2.1.4. Числа двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные 156
2.1.5. Рациональные числа 160
2.1.6. Вещественные (действительные) числа 161
2.1.7. Вещественные числа с фиксированной и плавающей точкой
161
2.1.8. Комплексные числа 163
2.1.9. Алгебраическая форма комплексных чисел 163
2.1.10. Экспоненциальная форма комплексных чисел 163
2.1.11. Преобразование комплексных чисел 164
2.1.12. Характерные правила ввода и вывода чисел 164
2.2. Строковые данные 166
2.2.1. Выводимые строковые данные 166
2.2.2. Программные строковые комментарии 169
2.3. Сложные типы данных 169
2.3.1. Массивы 170
2.3.2. Векторы и матрицы 170
2.3.3. Задание массивов 171
2.3.4. Использование индексированных переменных массивов 172
2.3.5. Списки 173
2.3.6. Таблицы и их представление 175
2.3.7. Объекты 180
2.4. Константы 181
2.4.1. Числовые константы 181
2.4.2. Строковые константы 181
2.4.3. Встроенные в ядро константы 181
2.4.4. Идентификация констант 184
2.5. Переменные 185
2.5.1. Типы переменных 185
2.5.2. Идентификаторы (имена) переменных 185
2.5.3. Присваивание переменным значений 186
2.5.4. Отмена операции присваивания 187
2.5.5. Задание ранжированных и интервальных переменных 189
2.5.6. Применение ранжированных переменных 191
2.5.7. Расширенное понятие о переменных 192
2.5.8. Вычисление значений переменных и операции
присваивания 193
2.6. Специальные типы данных 194
2.6.1. Массивы записей 194
2.6.2. Списки в стеке и работа с ним 195
2.6.3. Размерные переменные в системе Mathcad 197

Глава 3. Операторы, функции и выражения 199

3.1. Основные определения 199
3.1.1. Операторы и их приоритет 199
3.1.2. Функции и их классификация 201
3.1.3. Функции-процедуры системы MATLAB 203
3.1.4. Математические выражения 203
3.2. Операторы и функции 204
3.2.1. Виды операторов 204
3.2.2. Бинарные (инфиксные) операторы 204
3.2.3. Операторы объединения, пересечения и исключения для
множеств 206
3.2.4. Унарные арифметические операторы 206
3.2.5 Логические операторы 207
3.2.6. Специальные типы операторов 208
3.2.7. Функциональные операторы 209
3.2.8. Нейтральные операторы, определяемые пользователем 210
3.2.9. Определение операторов с помощью команды define 210
3.2.10. Укороченные арифметические операторы систем
Mathematica 2/3/4 212
3.2.11. Арифметические функции систем Mathematica 2/3/4 213
3.2.12. Защита идентификаторов от модификации 215
3.3. Операторы и функции матричной системы MATLAB 5.2.1 217
3.3.1. Арифметические операторы и функции системы MATLAB 217
3.3.2. Операторы отношения MATLAB 218
3.3.3. Логические операторы и функции 220
3.3.4. Специальные символы 221
3.3.5. Системные переменные и константы MATLAB 224
3.3.6. Функции поразрядной логической обработки данных 227
3.3.7. Функции обработки множеств 228
3.4. Элементарные математические функции 231
3.4.1. Особенности синтаксиса элементарных функций у разных
систем 231
3.4.2. Целочисленные функции и комбинаторика 232
3.4.3. Тригонометрические функции 234
3.4.4. Обратные тригонометрические функции 235
3.4.5. Гиперболические функции 236
3.4.6. Обратные гиперболические функции 236
3.4.7. Функции показательная, логарифмическая и квадратный
корень 237
3.4.8. Моделирование сигналов стандартной формы 238
3.4.9. Функции с элементами сравнения 239
3.4.10. Функции комплексного аргумента 241
3.5. Элементарные функции матричной системы MATLAB 242
3.5.1. Алгебраические и арифметические функции 242
3.5.2. Функции числовой аппроксимации, округления и знака 244
3.5.3. Функции комплексного аргумента 246
3.5.4. Тригонометрические и гиперболические функции 247

Тригонометрические функции системы MATLAB 247
Обратные тригонометрические функции системы MATLAB 248
Гиперболические функции системы MATLAB 249
Обратные гиперболические функции системы MATLAB 250

3.6 Специальные математические функции системы MATLAB 250
3.6.1. Функции Эйри 251
3.6.2. Функции Бесселя 251
3.6.3. Бета-функция и ее варианты 255
3.6.4. Эллиптические функции и интегралы 256
3.6.5. Функции ошибки (основная и остаточная) 257
3.6.6. Интегральная показательная функция 258
3.6.7. Гамма-функция и ее варианты 258
3.6.8. Ортогональные полиномы Лежандра 259
3.7. Специальные математические функции других систем 260
3.7.1. Специальные функции системы Derive 260

Интегральная показательная функция и связанные с ней функции
261
Интегралы Френеля 262
Функции Бесселя и Эйри 262
Гипергеометрические функции 263
Эллиптические интегралы 264
Ортогональные полиномы 264
Дзета-функция, полилогарифм и дилогарифм 265

3.7.2. Специальные математические функции системы MuPAD 266
3.7.3. Специальные математические функции системы Mathcad
268

Функции Бесселя 268
Гамма- функция 269
Дополнительные специальные функции Mathcad 8.0 270
Дополнительные не активные функции 270

3.7.4. Специальные математические функции системы
Mathematica 271

Ортогональные полиномы 271
Интегральная показательная и родственные ей функции 272
Гамма- и полигамма-функции 273
Функции Бесселя 274
Гипергеометрические функции 274
Эллиптические интегралы и функции 275

3.7.5. Специальные математические функции системы Maple V
279
3.8. Функции пользователя 281
3.8.1. Назначение и создание функций пользователя 281
3.8.2. Функции пользователя в системе Mathematica 284
3.8.3. Функции пользователя в системе Maple V 285
3.9. Функции для работы со строковыми данными 287
3.9.1. Работа со строками в системе MuPAD 287
3.9.2. Работа со строками в системах Mathcad 7.0/8.0 288
3.9.3. Работа со строками в системе Maple V 289
3.9.4. Работа со строковыми данными в системе Mathematica
291

Глава 4. Решение задач линейной алгебры 294

4.1. Круг решаемых задач и основные определения 294
4.1.1. Круг задач, решаемых линейной алгеброй 294
4.1.2. Представление систем линейных уравнений в матричной
форме 295
4.1.3. Основные виды матриц и их характеристики 295
4.2. Векторные и матричные операции в системе Derive 297
4.2.1. Векторные функции и операторы Derive 297
4.2.2. Матричные функции и операторы 301
4.2.3. Матричные операции в символьной форме 304
4.3. Векторные и матричные операции системы MuPAD 306
4.3.1. Библиотеки линейной алгебры системы MuPAD 306
4.3.2. Задание векторов и матриц в MuPAD 308
4.3.3. Примеры решения задач линейной алгебры в системе
MuPAD 308
4.4. Решение задач линейной алгебры в системе Mathcad 8.02
313
4.4.1. Ввод векторов и матриц в системе Mathcad 313
4.4.2. Векторные и матричные операторы 314
4.4.3. Применение операции векторизации 317
4.4.4. Работа с векторными и матричными функциями 317
4.4.5. Функции, возвращающие специальные характеристики
матриц 319
4.4.6. Дополнительные матричные функции 322
4.4.7. Функции сортировки для векторов и матриц 322
4.4.8. Решение систем линейных уравнений 323
4.5. Матричные операции системы Maple V R4/R5 325
4.5.1. Задание матриц 325
4.5.2. Выделение элементов векторов и матриц 325
4.5.3. Простейшие операции с матрицами 326
4.5.4. Состав пакета linalg 329
4.5.5. Интерактивный ввод матриц 330
4.5.6. Основные функции для задания векторов и матриц 331
4.5.7. Функции для работы с векторами и матрицами 331
4.5.8. Решение систем линейных уравнений 333
4.6. Линейная алгебра систем Mathematica 2/3/4 334
4.6.1. Массивы - списки 334
4.6.2. Операции с массивами и матрицами 335
4.6.3. Решение систем линейных уравнений 337
4.7. Матричные функции системы MATLAB 337
4.7.1. Создание матриц в системе MATLAB 338
4.7.2. Матричные функции перестановки 340
4.7.3. Функция вычисления произведений и сумм для элементов
матриц 341
4.7.4. Функции выделения треугольных частей матриц 344
4.7.5. Вычисление специальных матриц 344
4.7.6. Матричные функции для решения задач линейной алгебры 346
4.7.7. LU- и QR- разложения матриц 352
4.7.8. Вычисление собственных значений матриц 355
4.7.9. Приведение матриц к формам Шура и Хессенберга 357
4.7.10. Матричные функции 360
4.7.11. Функции разреженных матриц 363
4.7.12. Преобразование разреженных матриц 366
4.7.13. Работа с ненулевыми элементами разреженных матриц 368
4.7.14. Визуализация разреженных матриц - команда spy 370
4.7.15. Алгоритмы упорядочения 371
4.7.16. Норма, число обусловленности и ранг разреженной матрицы 374
4.7.17. Вычисление собственных значений и сингулярных чисел
разреженных матриц 375

Глава 5. Типовые операции математического анализа 377

5.1. Вычисление сумм и произведений в системе Mathcad 377
5.1.1. Определение суммы 377
5.1.2. Вычисление сумм в численном и в аналитическом виде 377
5.1.3. Вычисление сумм с бесконечным числом членов 379
5.1.4. Вычисление сумм с использованием ранжированных переменных 380
5.1.5. Вычисление произведений 380
5.2. Вычисление сумм и произведений другими системами 380
5.2.1 Вычисление сумм и произведений в системе Derive 380
5.2.2. Вычисления сумм и произведений в системе MuPAD 383
5.2.3. Вычисления сумм и произведений в системах Mathematica
384
5.2.4. Вычисления сумм и произведений в системе Maple V
R4/R5 386
5.3. Вычисление пределов функций 390
5.3.1. Определение предела функции 390
5.3.2. Вычисление пределов в системе Mathcad 391
5.3.3. Вычисление пределов в системах Derive и MuPAD 392
5.3.4. Вычисление пределов в системах Mathematica 2/3/4 394
5.3.5. Вычисление пределов в системе Maple V R4/R5 395
5.4. Вычисление производных 397
5.4.1. Определение производной и полного дифференциала 397
5.4.2. Численное вычисление производных 398
5.4.3. Вычисление производных в системе Mathcad 398
5.4.4. Вычисление производных в системах Derive и MuPAD 400
5.4.5. Вычисление производных в системах Mathematica 2/3/4
403
5.4.6. Вычисление производных в системах Maple V R4/R5 405
5.4.7. Дифференциальный оператор D системы Maple V 407
5.5. Вычисление численных значений производных и градиента в
системе MATLAB 409
5.5.1. Вычисление производных конечно-разностным методом 409
5.5.2. Вычисление градиента конечно-разностным методом 410
5.6. Вычисление неопределенных и определенных интегралов 411
5.6.1. Определение интегралов 411
5.6.2. Вычисление интегралов в системе Mathcad 413
5.6.3. Вычисление интегралов в системах Derive и MuPAD 416
5.6.4. Вычисление интегралов в системах Mathematica 2/3/4 419
5.6.5. Вычисление интегралов в системе Maple V R4/R5 426
5.5.6. Интегрирование средствами системы MATLAB 430
5.7. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена 432
5.7.1 Определение рядов Тейлора и Маклорена 432
5.7.2. Разложение в ряд Тейлора в системе Mathcad 433
5.7.3. Вычисление интегралов с помощью разложения в ряд
подынтегральной функции 435
5.7.4. Разложение в ряд в системах Derive и MuPAD 435
5.7.5. Разложение в ряд в системах Mathematica 2/3/4 438
5.8. Разложение в ряд в системах Maple V R4/R5 441
5.8.1. Разложение в степенной ряд 441
5.8.2. Разложение в ряды Тейлора и Маклорена 442
5.8.3. Вычисление асимптотических и иных разложений 444
5.9. Решение систем нелинейных уравнений и неравенств 446
5.9.1. Определение систем нелинейных уравнений и неравенств
446
5.9.2. Решение нелинейных уравнений в системе Mathcad 447
5.9.3. Решение уравнений и неравенств в системе Derive 451
5.9.4. Решение нелинейных уравнений в системе MuPAD 457
5.9.5. Решение нелинейных уравнений в системах Mathematica
2/3/4 458
5.9.6. Решение систем нелинейных уравнений в системе MATLAB
463
5.10. Решение уравнений в системах Maple V 465
5.10.1. Функция solve для аналитического решения уравнений 465
5.10.2. Решение одиночных нелинейных уравнений 466
5.10.3. Решение тригонометрических уравнений 467
5.10.4. Решение систем нелинейных и трансцендентных
уравнений 468
5.10.5. Функция RootOf 469
5.10.6. Решение неравенств 470
5.10.7. Решение функциональных уравнений 470
5.10.8. Решение в численном виде - функция fsolve 471
5.10.9. Решение иных видов уравнений 472
5.11. Решение задач оптимизации и линейного программирования 473
5.11.1. Основные понятия оптимизации и линейного
программирования 473
5.11.2. Анализ сложной функции 475
5.11.3. Как из листа железа сделать ящик максимального
объема? 477
5.11.4. Поиск глобального максимума функции одной переменной 478
5.11.5. Поиск минимума тестовой функции Розенброка 480
5.11.6. Функции maximize и minimize системы Mathcad 8.0 482
5.11.7. Пример решения задачи линейного программирования 484
5.11.8. Поиск локальных экстремумов в системе Derive 485
5.11.9. Средства оптимизации систем Mathematica 2/3/4 486
5.11.10. Функции поиска минимума системы MATLAB 489
5.12. Исследование аналитических функций в системах Maple V
R4/R5 492
5.12.1. Поиск экстремумов функций 492
5.12.2. Поиск минимумов и максимумов функций, заданных
аналитически 493
5.12.3. Анализ функций на непрерывность 494